光線投射法

使用three.js自帶的光線投射器(Raycaster)選取物體非常簡單，代碼如下所示：

var raycaster = new THREE.Raycaster();
var mouse = new THREE.Vector2();

function onMouseMove(event) {
    // 計算鼠標所在位置的設備坐標
    // 三個坐標分量都是-1到1
    mouse.x = event.clientX / window.innerWidth * 2 - 1;
    mouse.y = - (event.clientY / window.innerHeight) * 2 + 1;
}

function pick() {
    // 使用相機和鼠標位置更新選取光線
    raycaster.setFromCamera(mouse, camera);

    // 計算與選取光線相交的物體
    var intersects = raycaster.intersectObjects(scene.children);
}

它是採用包圍盒過濾，計算投射光線與每個三角面元是否相交實現的。

但是，當模型非常大，比如說有40萬個面，通過遍歷的方法選取物體和計算碰撞點位置將非常慢，用戶體驗不好。

但是使用gpu選取物體不存在這個問題。無論場景和模型有多大，都可以在一幀內獲取到鼠標所在點的物體和交點的位置。

使用GPU選取物體

實現方法很簡單：

1.  創建選取材質，將場景中的每個模型的材質替換成不同的顏色。

2. 讀取鼠標位置像素顏色，根據顏色判斷鼠標位置的物體。

具體實現代碼：

1. 創建選取材質，遍歷場景，將場景中每個模型替換為不同的顏色。

let maxHexColor = 1;

// 更換選取材質
scene.traverseVisible(n => {
    if (!(n instanceof THREE.Mesh)) {
        return;
    }
    n.oldMaterial = n.material;
    if (n.pickMaterial) { // 已經創建過選取材質了
        n.material = n.pickMaterial;
        return;
    }
    let material = new THREE.ShaderMaterial({
        vertexShader: PickVertexShader,
        fragmentShader: PickFragmentShader,
        uniforms: {
            pickColor: {
                value: new THREE.Color(maxHexColor)
            }
        }
    });
    n.pickColor = maxHexColor;
    maxHexColor++;
    n.material = n.pickMaterial = material;
});

PickVertexShader：

void main() {
    gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position, 1.0);
}

PickFragmentShader：

uniform vec3 pickColor;

void main() {
    gl_FragColor = vec4(pickColor, 1.0);
}

2.  將場景繪製在WebGLRenderTarget上，讀取鼠標所在位置的顏色，判斷選取的物體。

let renderTarget = new THREE.WebGLRenderTarget(width, height);
let pixel = new Uint8Array(4);

// 繪製並讀取像素
renderer.setRenderTarget(renderTarget);
renderer.clear();
renderer.render(scene, camera);
renderer.readRenderTargetPixels(renderTarget, offsetX, height - offsetY, 1, 1, pixel); // 讀取鼠標所在位置顏色

// 還原原來材質，並獲取選中物體
const currentColor = pixel[0] * 0xffff + pixel[1] * 0xff + pixel[2];

let selected = null;

scene.traverseVisible(n => {
    if (!(n instanceof THREE.Mesh)) {
        return;
    }
    if (n.pickMaterial && n.pickColor === currentColor) { // 顏色相同
        selected = n; // 鼠標所在位置的物體
    }
    if (n.oldMaterial) {
        n.material = n.oldMaterial;
        delete n.oldMaterial;
    }
});

說明：offsetX和offsetY是鼠標位置，height是畫布高度。readRenderTargetPixels一行的含義是選取鼠標所在位置（offsetX, height – offsetY），寬度為1，高度為1的像素的顏色。

pixel是Uint8Array(4)，分別保存rgba顏色的四個通道，每個通道取值範圍是0~255。

完整實現代碼：

使用GPU獲取交點位置

實現方法也很簡單：

1. 創建深度着色器材質，將場景深度渲染到WebGLRenderTarget上。

2. 計算鼠標所在位置的深度，根據鼠標位置和深度計算交點位置。

具體實現代碼：

1. 創建深度着色器材質，將深度信息以一定的方式編碼，渲染到WebGLRenderTarget上。

深度材質：

const depthMaterial = new THREE.ShaderMaterial({
    vertexShader: DepthVertexShader,
    fragmentShader: DepthFragmentShader,
    uniforms: {
        far: {
            value: camera.far
        }
    }
});

DepthVertexShader：

precision highp float;

uniform float far;

varying float depth;

void main() {
    gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position, 1.0);
    depth = gl_Position.z / far;
}

DepthFragmentShader：

precision highp float;

varying float depth;

void main() {
    float hex = abs(depth) * 16777215.0; // 0xffffff

    float r = floor(hex / 65535.0);
    float g = floor((hex - r * 65535.0) / 255.0);
    float b = floor(hex - r * 65535.0 - g * 255.0);
    float a = sign(depth) >= 0.0 ? 1.0 : 0.0; // depth大於等於0，為1.0；小於0，為0.0。

    gl_FragColor = vec4(r / 255.0, g / 255.0, b / 255.0, a);
}

重要說明：

a. gl_Position.z是相機空間中的深度，是線性的，範圍從cameraNear到cameraFar。可以直接使用着色器varying變量進行插值。

b. gl_Position.z / far的原因是，將值轉換到0~1範圍內，便於作為顏色輸出。

c. 不能使用屏幕空間中的深度，透視投影后，深度變為-1~1，大部分非常接近1（0.9多），不是線性的，幾乎不變，輸出的顏色幾乎不變，非常不準確。

d. 在片元着色器中獲取深度方法：相機空間深度為
gl_FragCoord.z，屏幕空間深度為
gl_FragCoord.z /  gl_FragCoord.w。

e. 上述描述都是針對透視投影，正投影中gl_Position.w為1，使用相機空間和屏幕空間深度都是一樣的。

f. 為了盡可能準確輸出深度，採用rgb三個分量輸出深度。gl_Position.z/far範圍在0~1，乘以0xffffff，轉換為一個rgb顏色值，r分量1表示65535，g分量1表示255，b分量1表示1。

完整實現代碼：

2. 讀取鼠標所在位置的顏色，將讀取到的顏色值還原為相機空間深度值。

a. 將“加密”處理后的深度繪製在WebGLRenderTarget上。讀取顏色方法

let renderTarget = new THREE.WebGLRenderTarget(width, height);
let pixel = new Uint8Array(4);

scene.overrideMaterial = this.depthMaterial;

renderer.setRenderTarget(renderTarget);

renderer.clear();
renderer.render(scene, camera);
renderer.readRenderTargetPixels(renderTarget, offsetX, height - offsetY, 1, 1, pixel);

說明：offsetX和offsetY是鼠標位置，height是畫布高度。readRenderTargetPixels一行的含義是選取鼠標所在位置（offsetX, height – offsetY），寬度為1，高度為1的像素的顏色。

pixel是Uint8Array(4)，分別保存rgba顏色的四個通道，每個通道取值範圍是0~255。

b. 將“加密”后的相機空間深度值“解密”，得到正確的相機空間深度值。

if (pixel[2] !== 0 || pixel[1] !== 0 || pixel[0] !== 0) {
    let hex = (this.pixel[0] * 65535 + this.pixel[1] * 255 + this.pixel[2]) / 0xffffff;

    if (this.pixel[3] === 0) {
        hex = -hex;
    }

    cameraDepth = -hex * camera.far; // 相機坐標系中鼠標所在點的深度（注意：相機坐標系中的深度值為負值）
}

3. 根據鼠標在屏幕上的位置和相機空間深度，插值反算交點世界坐標系中的坐標。

let nearPosition = new THREE.Vector3(); // 鼠標屏幕位置在near處的相機坐標系中的坐標
let farPosition = new THREE.Vector3(); // 鼠標屏幕位置在far處的相機坐標系中的坐標
let world = new THREE.Vector3(); // 通過插值計算世界坐標

// 設備坐標
const deviceX = this.offsetX / width * 2 - 1;
const deviceY = - this.offsetY / height * 2 + 1;

// 近點
nearPosition.set(deviceX, deviceY, 1); // 屏幕坐標系：(0, 0, 1)
nearPosition.applyMatrix4(camera.projectionMatrixInverse); // 相機坐標系：(0, 0, -far)

// 遠點
farPosition.set(deviceX, deviceY, -1); // 屏幕坐標系：(0, 0, -1)
farPosition.applyMatrix4(camera.projectionMatrixInverse); // 相機坐標系：(0, 0, -near)

// 在相機空間，根據深度，按比例計算出相機空間x和y值。
const t = (cameraDepth - nearPosition.z) / (farPosition.z - nearPosition.z);

// 將交點從相機空間中的坐標，轉換到世界坐標系坐標。
world.set(
    nearPosition.x + (farPosition.x - nearPosition.x) * t,
    nearPosition.y + (farPosition.y - nearPosition.y) * t,
    cameraDepth
);
world.applyMatrix4(camera.matrixWorld);

完整代碼：

相關應用

使用gpu選取物體並計算交點位置，多用於需要性能非常高的情況。例如：

1. 鼠標移動到三維模型上的hover效果。

2. 添加模型時，模型隨着鼠標移動，實時預覽模型放到場景中的效果。

3. 距離測量、面積測量等工具，線條和多邊形隨着鼠標在平面上移動，實時預覽效果，並計算長度和面積。

4. 場景和模型非常大，光線投射法選取速度很慢，用戶體驗非常不好。

這裏給一個使用gpu選取物體和實現鼠標hover效果的圖片。紅色邊框是選取效果，黃色半透明效果是鼠標hover效果。

看不明白？可能你不太熟悉three.js中的各種投影運算。下面給出three.js中的投影運算公式。

three.js中的投影運算

1. modelViewMatrix = camera.matrixWorldInverse * object.matrixWorld

2. viewMatrix = camera.matrixWorldInverse

3. modelMatrix = object.matrixWorld

4. project = applyMatrix4( camera.matrixWorldInverse ).applyMatrix4( camera.projectionMatrix )

5. unproject = applyMatrix4( camera.projectionMatrixInverse ).applyMatrix4( camera.matrixWorld )

6. gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * position
                      = projectionMatrix * camera.matrixWorldInverse * matrixWorld * position
                      = projectionMatrix * viewMatrix * modelMatrix * position

參考資料：

1. 完整實現代碼：

2. 基於three.js的開源三維場景編輯器：

3. OpenGL中使用着色器繪製深度值：https://stackoverflow.com/questions/6408851/draw-the-depth-value-in-opengl-using-shaders

4. 在glsl中，獲取真實的片元着色器深度值：https://gamedev.stackexchange.com/questions/93055/getting-the-real-fragment-depth-in-glsl

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一 前期準備

1.1 前置條件

• 集群部署：Kubernetes集群部署參考003——019。
• glusterfs-Kubernetes部署：參考《附010.Kubernetes永久存儲之GlusterFS超融合部署》。

1.2 部署規劃

本實驗使用StatefulSet部署MongoDB集群，同時每個MongoDB實例使用glusterfs實現永久存儲。從而部署無單點故障、高可用、可動態擴展的MongoDB集群。

部署架構如下：

二 創建StatefulSet

2.1 創建storageclass存儲類型

  1 [root@k8smaster01 ~]# vi heketi-secret.yaml			#創建用於保存密碼的secret
  2 apiVersion: v1
  3 kind: Secret
  4 metadata:
  5   name: heketi-secret
  6   namespace: heketi
  7 data:
  8   # base64 encoded password. E.g.: echo -n "mypassword" | base64
  9   key: YWRtaW4xMjM=
 10 type: kubernetes.io/glusterfs

  1 [root@k8smaster01 heketi]# kubectl create -f heketi-secret.yaml	#創建heketi
  2 [root@k8smaster01 heketi]# kubectl get secrets -n heketi
  3 NAME                                 TYPE                                  DATA   AGE
  4 default-token-6n746                  kubernetes.io/service-account-token   3      144m
  5 heketi-config-secret                 Opaque                                3      142m
  6 heketi-secret                        kubernetes.io/glusterfs               1      3m1s
  7 heketi-service-account-token-ljlkb   kubernetes.io/service-account-token   3      143m
  8 [root@k8smaster01 ~]# mkdir mongo
  9 [root@k8smaster01 ~]# cd mongo

  1 [root@k8smaster01 heketi]# vi storageclass-fast.yaml
  2 apiVersion: storage.k8s.io/v1
  3 kind: StorageClass
  4 metadata:
  5   name: fast
  6 parameters:
  7   resturl: "http://10.254.82.26:8080"
  8   clusterid: "d96022e907f82045dcc426a752adc47c"
  9   restauthenabled: "true"
 10   restuser: "admin"
 11   secretName: "heketi-secret"
 12   secretNamespace: "default"
 13   volumetype: "replicate:3"
 14 provisioner: kubernetes.io/glusterfs
 15 reclaimPolicy: Delete

  1 [root@k8smaster01 heketi]# kubectl create -f storageclass-fast.yaml
  2 [root@k8smaster01 heketi]# kubectl get storageclasses/fast

2.2 授權ServiceAccount

本實驗2.4步驟需要使用mongo-sidecar的pod來配置管理mongo pod。

由於默認的service account僅僅只能獲取當前Pod自身的相關屬性，無法觀察到其他名稱空間Pod的相關屬性信息。如果想要擴展Pod，或者一個Pod需要用於管理其他Pod或者是其他資源對象，是無法通過自身的名稱空間的serviceaccount進行獲取其他Pod的相關屬性信息的，因此需要進行手動創建一個serviceaccount，並在創建Pod時進行定義。或者直接將默認的serviceaccount進行授權。

  1 [root@uk8s-m-01 mongo]# vi defaultaccout.yaml
  2 ---
  3 apiVersion: rbac.authorization.k8s.io/v1beta1
  4 kind: ClusterRoleBinding
  5 metadata:
  6   name: DDefault-Cluster-Admin
  7 subjects:
  8   - kind: ServiceAccount
  9     # Reference to upper's `metadata.name`
 10     name: default
 11     # Reference to upper's `metadata.namespace`
 12     namespace: default
 13 roleRef:
 14   kind: ClusterRole
 15   name: cluster-admin
 16   apiGroup: rbac.authorization.k8s.io
 17 
 18 [root@uk8s-m-01 mongo]# kubectl apply -f defaultaccout.yaml

2.3 創建headless Service

  1 [root@k8smaster01 mongo]# vi mongo-headless-service.yaml

略

提示：本實驗直接將headless結合在StatefulSet同一個yaml文件中，參考2.4。

2.4 創建StatefulSet

  1 [root@k8smaster01 mongo]# vi statefulset-mongo.yaml
  2 ---
  3 apiVersion: v1
  4 kind: Service
  5 metadata:
  6   name: mongo
  7   labels:
  8     name: mongo
  9 spec:
 10   ports:
 11   - port: 27017
 12     targetPort: 27017
 13   clusterIP: None
 14   selector:
 15     role: mongo
 16 ---                                  #以上為headless-service
 17 apiVersion: apps/v1beta1
 18 kind: StatefulSet
 19 metadata:
 20   name: mongo
 21 spec:
 22   serviceName: "mongo"
 23   replicas: 3
 24   template:
 25     metadata:
 26       labels:
 27         role: mongo
 28         environment: test
 29     spec:
 30       terminationGracePeriodSeconds: 10
 31       containers:
 32         - name: mongo
 33           image: mongo:3.4             #新版可能不支持smallfiles參數，因此指定為3.4版本
 34           command:
 35             - mongod
 36             - "--replSet"
 37             - rs0
 38             - "--bind_ip"
 39             - 0.0.0.0
 40             - "--smallfiles"           #使用較小的默認文件
 41             - "--noprealloc"           #禁用數據文件預分配
 42           ports:
 43             - containerPort: 27017
 44           volumeMounts:
 45             - name: mongo-persistent-storage
 46               mountPath: /data/db
 47         - name: mongo-sidecar
 48           image: cvallance/mongo-k8s-sidecar
 49           env:
 50             - name: MONGO_SIDECAR_POD_LABELS
 51               value: "role=mongo,environment=test"
 52             - name: KUBERNETES_MONGO_SERVICE_NAME
 53               value: "mongo"
 54   volumeClaimTemplates:
 55   - metadata:
 56       name: mongo-persistent-storage
 57       annotations:
 58         volume.beta.kubernetes.io/storage-class: "fast"
 59     spec:
 60       accessModes: [ "ReadWriteOnce" ]
 61       resources:
 62         requests:
 63           storage: 2Gi

釋義：

1. 該StatefulSet定義了兩個容器：mingo和mongo-sidecar。mongo是主服務程序，mongo-sidecar是將多個mongo實例進行集群設置的工具。同時mongo-sidecar中設置了如下環境變量：

• MONGO_SIDECAR_POD_LABELS：設置為mongo容器的標籤，用於sidecar查詢它所要管理的MongoDB集群實例。
• KUBERNETES_MONGO_SERVICE_NAME：它的值為mongo，表示sidecar將使用mongo這個服務名來完成MongoDB集群的設置。

1. replicas=3表示MongoDB集群由3個mongo實例組成。
2. volumeClaimTemplates是StatefulSet最重要的存儲設置。在annotations段設置volume.beta.kubernetes.io/storage-class=”fast”表示使用名為fast的StorageClass自動為每個mongo Pod實例分配後端存儲。
3. resources.requests.storage=2Gi表示為每個mongo實例都分配2GiB的磁盤空間。

  1 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl create -f statefulset-mongo.yaml	#創建mongo

提示：由於國內mongo鏡像可能無法pull，建議通過VPN等方式提前pull鏡像，然後上傳至所有node節點。

  1 [root@VPN ~]# docker pull cvallance/mongo-k8s-sidecar:latest
  2 [root@VPN ~]# docker pull mongo:3.4.4
  3 [root@VPN ~]# docker save -o mongo-k8s-sidecar.tar cvallance/mongo-k8s-sidecar:latest
  4 [root@VPN ~]# docker save -o mongo_3_4_4.tar mongo:3.4.4
  5 [root@k8snode01 ~]# docker load -i mongo-k8s-sidecar.tar
  6 [root@k8snode01 ~]# docker load -i mongo.tar
  7 [root@k8snode01 ~]# docker images

創建異常可通過如下方式刪除，重新創建：

  1 kubectl delete -f statefulset-mongo.yaml
  2 kubectl delete -f mongo-headless-service.yaml
  3 kubectl delete pvc -l role=mongo

三 確認驗證

3.1 查看資源

  1 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl get pod -l role=mongo			#查看集群pod
  2 NAME      READY   STATUS    RESTARTS   AGE
  3 mongo-0   2/2     Running   0          9m44s
  4 mongo-1   2/2     Running   0          7m51s
  5 mongo-2   2/2     Running   0          6m1s

StatefulSet會用volumeClaimTemplates中的定義為每個Pod副本都創建一個PVC實例，每個PVC的名稱由StatefulSet定義中volumeClaimTemplates的名稱和Pod副本的名稱組合而成。

  1 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl get pvc

  1 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl get pods mongo-0 -o yaml | grep -A 3 volumes	#查看掛載

3.2 查看mongo集群

登錄任意一個mongo Pod，在mongo命令行界面用rs.status()命令查看MongoDB集群的狀態，該mongodb集群已由sidecar完成了創建。在集群中包含3個節點 每個節點的名稱都是StatefulSet設置的DNS域名格式的網絡標識名稱：

mongo-0.mongo.default.svc.cluster.local

mongo-1.mongo.default.svc.cluster.local

mongo-2.mongo.default.svc.cluster.local

同時，可以查看每個mongo實例各自的角色（PRIMARY或SECONDARY）。

  1 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl exec -ti mongo-0 -- mongo
  2 ……
  3 rs0:PRIMARY> rs.status()

四 集群常見管理

4.1 MongoDB擴容

運行環境過程中，若3個mongo實例不足以滿足業務的要求，可對mongo集群進行擴容。僅需要通過對StatefulSet進行scale操作，從而實現在mongo集群中自動添加新的mongo節點。

  1 [root@k8smaster01 ~]# kubectl scale statefulset mongo --replicas=4	#擴容為4個
  2 [root@k8smaster01 ~]# kubectl get pod -l role=mongo
  3 NAME      READY   STATUS    RESTARTS   AGE
  4 mongo-0   2/2     Running   0          105m
  5 mongo-1   2/2     Running   0          103m
  6 mongo-2   2/2     Running   0          101m
  7 mongo-3   2/2     Running   0          50m

4.2 查看集群成員

  1 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl exec -ti mongo-0 -- mongo
  2 ……
  3 rs0:PRIMARY> rs.status()
  4 ……

4.3 故障自動恢復

若在系統運行過程中，某個mongo實例或其所在主機發生故障，則StatefulSet將會自動重建該mongo實例，並保證其身份（ID）和使用的數據（PVC） 不變。以下為mongo-0實例發生故障進行模擬，StatefulSet將會自動重建mongo-0實例，併為其掛載之前分配的PVC“mongo-persistent-storage-mongo-0”。新的服務“mongo-0”在重新啟動后，原數據庫中的數據不會丟失，可繼續使用。

  1 [root@k8smaster01 ~]# kubectl get pvc
  2 [root@k8smaster01 ~]# kubectl delete pod mongo-0
  3 [root@k8smaster01 mongo]# kubectl exec -ti mongo-0 -- mongo
  4 ……
  5 rs0:PRIMARY> rs.status()
  6 ……

提示：進入某個實例查看mongo集群的狀態，mongo-0發生故障前在集群中的角色為PRIMARY，在其脫離集群后，mongo集群會自動選出一個SECONDARY節點提升為PRIMARY節點（本例中為mongo-2）。重啟后的mongo-0則會成為一個新的SECONDARY節點。本站聲明:網站內容來源於博客園,如有侵權,請聯繫我們,我們將及時處理【其他文章推薦】

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系列博客，原文在筆者所維護的github上：，
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2.1 線性反向傳播

2.1.1 正向計算的實例

假設我們有一個函數：

\[z = x \cdot y \tag{1}\]

其中:

\[x = 2w + 3b \tag{2}\]

\[y = 2b + 1 \tag{3}\]

計算圖如圖2-4。

圖2-4 簡單線性計算的計算圖

注意這裏x, y, z不是變量，只是計算結果。w, b是才變量。因為在後面要學習的神經網絡中，我們要最終求解的是w和b的值，在這裏先預熱一下。

當w = 3, b = 4時，會得到圖2-5的結果。

圖2-5 計算結果

最終的z值，受到了前面很多因素的影響：變量w，變量b，計算式x，計算式y。常數是個定值，不考慮。

2.1.2 反向傳播求解w

求w的偏導

目前的z=162，如果我們想讓z變小一些，比如目標是z=150，w應該如何變化呢？為了簡化問題，我們先只考慮改變w的值，而令b值固定為4。

如果想解決這個問題，我們可以在輸入端一點一點的試，把w變成4試試，再變成3.5試試……直到滿意為止。現在我們將要學習一個更好的解決辦法：反向傳播。

我們從z開始一層一層向回看，圖中各節點關於變量w的偏導計算結果如下：

\[因為z = x \cdot y，其中x = 2w + 3b，y = 2b + 1\]

所以：

\[\frac{\partial{z}}{\partial{w}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{w}}=y \cdot 2=18 \tag{4}\]

其中：

\[\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{}}{\partial{x}}(x \cdot y)=y=9\]

\[\frac{\partial{x}}{\partial{w}}=\frac{\partial{}}{\partial{w}}(2w+3b)=2\]

圖2-6 對w的偏導求解過程

圖2-6其實就是鏈式法則的具體表現，z的誤差通過中間的x傳遞到w。如果不是用鏈式法則，而是直接用z的表達式計算對w的偏導數，會是什麼樣呢？我們來試驗一下。

根據公式1、2、3，我們有：

\[z=x \cdot y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b^2+3b \tag{5}\]

對上式求w的偏導：

\[ {\partial z \over \partial w}=4b+2=4 \cdot 4 + 2=18 \tag{6} \]

公式4和公式6的結果完全一致！所以，請大家相信鏈式法則的科學性。

求w的具體變化值

公式4和公式6的含義是：當w變化一點點時，z會發生w的變化值的18倍的變化。記住我們的目標是讓z=150，目前在初始狀態時是162，所以，問題轉化為：當我們需要z從162變到150時，w需要變化多少？

既然：

\[ \Delta z = 18 \cdot \Delta w \]

則：

\[ \Delta w = {\Delta z \over 18}={162-150 \over 18}= 0.6667 \]

所以：

\[w = w – 0.6667=2.3333\]
\[x=2w+3b=16.6667\]
\[z=x \cdot y=16.6667 \times 9=150.0003\]

我們一下子就成功地讓z值變成了150.0003，與150的目標非常地接近，這就是偏導數的威力所在。

【課堂練習】推導z對b的偏導數，結果在下一小節中使用

2.1.3 反向傳播求解b

求b的偏導

這次我們令w的值固定為3，變化b的值，目標還是讓z=150。同上一小節一樣，先求b的偏導數。

注意，在上一小節中，求w的導數只經過了一條路：從z到x到w。但是求b的導數時要經過兩條路，如圖2-7所示：

1. 從z到x到b
2. 從z到y到b

圖2-7 對b的偏導求解過程

從複合導數公式來看，這兩者應該是相加的關係，所以有：

\[\frac{\partial{z}}{\partial{b}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{b}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=y \cdot 3+x \cdot 2=63 \tag{7}\]

其中：

\[\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{}}{\partial{x}}(x \cdot y)=y=9\]
\[\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{\partial{}}{\partial{y}}(x \cdot y)=x=18\]
\[\frac{\partial{x}}{\partial{b}}=\frac{\partial{}}{\partial{b}}(2w+3b)=3\]
\[\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=\frac{\partial{}}{\partial{b}}(2b+1)=2\]

我們不妨再驗證一下鏈式求導的正確性。把公式5再拿過來：

\[z=x \cdot y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b^2+3b \tag{5}\]

對上式求b的偏導：

\[ {\partial z \over \partial b}=4w+12b+3=12+48+3=63 \tag{8} \]

結果和公式7的鏈式法則一樣。

求b的具體變化值

公式7和公式8的含義是：當b變化一點點時，z會發生b的變化值的63倍的變化。記住我們的目標是讓z=150，目前在初始狀態時是162，所以，問題轉化為：當我們需要z從162變到150時，b需要變化多少？

既然：

\[\Delta z = 63 \cdot \Delta b\]

則：

\[ \Delta b = {\Delta z \over 63}={162-150 \over 63}=​0.1905 \]

所以：
\[ b=b-0.1905=3.8095 \]
\[x=2w+3b=17.4285\]
\[y=2b+1=8.619\]
\[z=x \cdot y=17.4285 \times 8.619=150.2162\]

這個結果也是與150很接近了，但是精度還不夠。再迭代幾次，應該可以近似等於150了，直到誤差不大於1e-4時，我們就可以結束迭代了，對於計算機來說，這些運算的執行速度很快。

【課題練習】請自己嘗試手動繼續迭代兩次，看看誤差的精度可以達到多少？

這個問題用數學公式倒推求解一個二次方程，就能直接得到準確的b值嗎？是的！但是我們是要說明機器學習的方法，機器並不會解二次方程，而且很多時候不是用二次方程就能解決實際問題的。而上例所示，是用機器所擅長的迭代計算的方法來不斷逼近真實解，這就是機器學習的真諦！而且這種方法是普遍適用的。

2.1.4 同時求解w和b的變化值

這次我們要同時改變w和b，到達最終結果為z=150的目的。

已知\(\Delta z=12\)，我們不妨把這個誤差的一半算在w賬上，另外一半算在b的賬上：

\[\Delta b=\frac{\Delta z / 2}{63} = \frac{12/2}{63}=0.095\]

\[\Delta w=\frac{\Delta z / 2}{18} = \frac{12/2}{18}=0.333\]

• \(w = w-\Delta w=3-0.333=2.667\)
• \(b = b – \Delta b=4-0.095=3.905\)
• \(x=2w+3b=2 \times 2.667+3 \times 3.905=17.049\)
• \(y=2b+1=2 \times 3.905+1=8.81\)
• \(z=x \times y=17.049 \times 8.81=150.2\)

【課堂練習】用Python代碼實現以上雙變量的反向傳播計算過程

容易出現的問題：

1. 在檢查Δz時的值時，注意要用絕對值，因為有可能是個負數
2. 在計算Δb和Δw時，第一次時，它們對z的貢獻值分別是1/63和1/18，但是第二次時，由於b和w值的變化，對於z的貢獻值也會有微小變化，所以要重新計算。具體解釋如下：

\[ \frac{\partial{z}}{\partial{b}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{b}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=y \cdot 3+x \cdot 2=3y+2x \]
\[ \frac{\partial{z}}{\partial{w}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{w}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{w}}=y \cdot 2+x \cdot 0 = 2y \]
所以，在每次迭代中，要重新計算下面兩個值：
\[ \Delta b=\frac{\Delta z}{3y+2x} \]
\[ \Delta w=\frac{\Delta z}{2y} \]

以下是程序的運行結果。

沒有在迭代中重新計算Δb的貢獻值：

single variable: b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
delta_b=0.190476
w=3.000000,b=3.809524,z=150.217687,delta_z=0.217687
delta_b=0.003455
w=3.000000,b=3.806068,z=150.007970,delta_z=0.007970
delta_b=0.000127
w=3.000000,b=3.805942,z=150.000294,delta_z=0.000294
delta_b=0.000005
w=3.000000,b=3.805937,z=150.000011,delta_z=0.000011
delta_b=0.000000
w=3.000000,b=3.805937,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.805937

在每次迭代中都重新計算Δb的貢獻值：

single variable new: b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
factor_b=63.000000, delta_b=0.190476
w=3.000000,b=3.809524,z=150.217687,delta_z=0.217687
factor_b=60.714286, delta_b=0.003585
w=3.000000,b=3.805938,z=150.000077,delta_z=0.000077
factor_b=60.671261, delta_b=0.000001
w=3.000000,b=3.805937,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.805937

從以上兩個結果對比中，可以看到三點：

1. factor_b第一次是63，以後每次都會略微降低一些
2. 第二個函數迭代了3次就結束了，而第一個函數迭代了5次，效率不一樣
3. 最後得到的結果是一樣的，因為這個問題只有一個解

對於雙變量的迭代，有同樣的問題：

沒有在迭代中重新計算Δb,Δw的貢獻值(factor_b和factor_w每次都保持63和18)：

double variable: w, b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
delta_b=0.095238, delta_w=0.333333
w=2.666667,b=3.904762,z=150.181406,delta_z=0.181406
delta_b=0.001440, delta_w=0.005039
w=2.661628,b=3.903322,z=150.005526,delta_z=0.005526
delta_b=0.000044, delta_w=0.000154
w=2.661474,b=3.903278,z=150.000170,delta_z=0.000170
delta_b=0.000001, delta_w=0.000005
w=2.661469,b=3.903277,z=150.000005,delta_z=0.000005
done!
final b=3.903277
final w=2.661469

在每次迭代中都重新計算Δb,Δw的貢獻值(factor_b和factor_w每次都變化)：

double variable new: w, b -----
w=3.000000,b=4.000000,z=162.000000,delta_z=12.000000
factor_b=63.000000, factor_w=18.000000, delta_b=0.095238, delta_w=0.333333
w=2.666667,b=3.904762,z=150.181406,delta_z=0.181406
factor_b=60.523810, factor_w=17.619048, delta_b=0.001499, delta_w=0.005148
w=2.661519,b=3.903263,z=150.000044,delta_z=0.000044
factor_b=60.485234, factor_w=17.613053, delta_b=0.000000, delta_w=0.000001
w=2.661517,b=3.903263,z=150.000000,delta_z=0.000000
done!
final b=3.903263
final w=2.661517

這個與第一個單變量迭代不同的地方是：這個問題可以有多個解，所以兩種方式都可以得到各自的正確解，但是第二種方式效率高，而且滿足梯度下降的概念。

參考資料

代碼位置

ch02, Level1

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